我们可以从几个方面讨论天门地区能否应用第三代试管婴儿技术，以及相关医疗机构的可靠性。

医疗机构开展人类辅助生殖技术

注：数据源网络，具体请参考当地医院。

首先，三代试管婴儿技术也被称为胚胎植入前遗传诊断（PGD），它是一种辅助生殖技术。它可以在胚胎移植前检测胚胎的基因状态，从而筛选出健康的胚胎进行移植，这对有遗传病家族史的家庭尤为重要。随着科学技术的进步，该技术在世界各地得到了广泛的应用和发展。

在中国，第三代体外受精技术的应用受到了国家卫生部门的严格监督。根据以往的趋势，随着政策的支持和技术的进步，越来越多的地方开始有能力开展第三代体外受精服务。因此，理论上，2024年，如果天门地区的医疗机构获得了相应的资格认证，并配备了专业的团队和先进的设备，就有可能为患者提供这项服务。

至于天门地区是否有可靠的三代试管婴儿医院，需要结合以下因素来判断:

1. 医院资质：确保所选医疗机构具备合法开展三代试管婴儿技术的资质证书。

2. 专业团队：经验丰富的医疗团队对提高成功率至关重要。其专业水平可以通过查看医生的背景、研究结果和其他信息来评估。

3. 成功率记录：了解过去几年医院三代试管婴儿的成功率，通常是衡量医疗机构技术水平的重要指标之一。

4. 患者反馈:参考其他患者的评价和经验，可以获得更直观的感受。当然，在阅读这些评论时，我们也需要保持一定的批判性思维。

5. 服务质量：除医疗技术外，良好的服务态度和沟通机制也是选择医院时不可忽视的因素。

最后，考虑到第三代体外受精是一个涉及各种考虑的过程，建议有需要的家庭提前做好充分的准备，包括但不限于经济准备、心理准备等。同时，你也可以在做出决定之前咨询许多专家。我希望每个想要孩子的家庭都能成功地实现他们的愿望。